Рабочая программа курса учебного практикума «Трудные вопросы математики. 7–8 классы» (далее – Программа) включает
пояснительную записку, содержание обучения, планируемые результаты освоения программы, тематическое планирование.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Общая характеристика курса
Настоящая рабочая программа курса учебного практикума «Трудные вопросы математики. 7–8 классы» разработана в
соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (далее – ФГОС
ООО) и направлена на организацию обучения математическому содержанию, выходящему за рамки Федеральной рабочей программы по
учебному предмету «Математика» (базовый уровень) основного общего образования (далее – ФРП), с учетом использования видов
деятельности обучающихся, отличных от урочных.
При разработке Программы учитывались следующие документы:
– письмо Министерства просвещения Российской Федерации от 5 июля 2022 г. № ТВ-1290/03 «О направлении
методических рекомендаций» по организации учебного практикума в рамках реализации обновленных федеральных государственных
образовательных стандартов начального общего и основного общего образования;
– распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 ноября 2024 г.
№ 3333-р «Об утверждении комплексного плана мероприятий по повышению качества математического и естественно-научного
образования на период до 2030 года».
Актуальность курса
В условиях реализации такой стратегической задачи, как достижение технологического суверенитета страны, перед
математическим образованием в числе главных поставлены следующие цели: развитие творческих
и исследовательских способностей обучающихся, их подготовка в процессе обучения математике к выбору профессий, связанных с
развитием точных и естественных наук и технологий. Как важный количественный показатель повышения интереса к математике
выделяется рост количества выпускников, выбирающих на государственной итоговой аттестации экзамен по математике на профильном
уровне.
Освоение
предлагаемой
Программы
способствует
повышению у обучающихся уровня мотивации к изучению
математики, к продолжению изучения математики в 10–11 классах на углубленном уровне и ориентирует на выбор единого
государственного экзамена по математике профильного уровня. Кроме того, освоение предлагаемого в Программе содержания позволяет
расширить круг решаемых математических задач за счет включения проблемных, нестандартных задач, задач прикладного характера,
выполнения исследовательских работ, в том числе с межпредметным содержанием, изучения дополнительных вопросов как
теоретического, так и практического характера.

Предусмотренные Программой виды деятельности – индивидуальная и групповая проектная и исследовательская деятельность
– способствуют развитию познавательных, регулятивных и коммуникативных умений обучающихся. Программа соответствует идее
расширения прикладной направленности курса математики на уровне основного общего образования. Реализация курса способствует
выявлению талантливых и одаренных обучающихся, поддержке их талантов и развитию способностей.
В большинстве тем курса предполагается выполнение исследовательских работ. Учебное исследование по математике в 7–9
классах предполагает получение субъективно нового для обучающегося результата и направлено на формирование исследовательских
умений: выделение проблемы, организация и анализ данных, выдвижение гипотезы, проверка гипотезы, формулирование выводов и
представление результатов на грамотном математическом языке.
Программа может быть востребована обучающимися, которые имеют интерес к изучению математики, готовятся к участию в
олимпиадах школьников по математике и углубленному изучению математики на уровне среднего общего образования.
Цель и задачи курса
Реализация учебного практикума является неотъемлемой частью образовательного процесса, обеспечивая в том числе
возможность формирования образовательных программ различного уровня сложности и направленности с учетом образовательных
потребностей и способностей обучающихся, включая одаренных детей.
Цель Программы – обеспечить индивидуальные потребности обучающихся в изучении содержания математики, выходящего за
рамки программы базового уровня.
Задачи курса:
1. Повышение уровня математической подготовки обучающихся, развитие устойчивого интереса к учебному предмету
«Математика».
2. Развитие творческих способностей, пространственного воображения, теоретического мышления и математической интуиции,
умений рассуждать логически и анализировать ситуации.
3. Углубление и закрепление базовых знаний, формирование устойчивых навыков решения нестандартных и олимпиадных задач,
освоение нестандартных подходов и оригинальных решений.
4. Ознакомление с дополнительными разделами математики, выходящими за рамки базового курса.
5. Воспитание самостоятельности, настойчивости и организованности в ходе решения сложных задач.
6. Развитие навыков командной работы, дружеского соперничества и здоровой конкуренции среди сверстников.
7. Подготовка обучающихся к участию в школьных, районных, региональных, всероссийских олимпиадах, конкурсах и
соревнованиях по математике.
8. Повышение
уровня
грамотности
в
области
использования «математических пакетов», обеспечивающих
автоматизацию процессов поиска, анализа, обработки, создания, передачи, формализации (в виде статических и динамических
графиков, диаграмм и прочих визуализаций результатов анализа и математических закономерностей) в процессе учебной
деятельности при изучении математики.
9. Развитие творческих способностей, теоретического мышления на основе использования цифровых инструментов (в том числе

«математических пакетов») в области моделирования, имитации и интерпретации абстрактных математических объектов и образов в виде
различных визуализаций (в том числе пространственных объектов).
Таким образом, реализация Программы содействует получению следующих результатов:
– достижение обучающимися планируемых личностных, метапредметных и предметных результатов, в т. ч. соответствующих
углубленному уровню изучения математики;
– развитие личности обучающихся, формированию и удовлетворению их социально значимых интересов и потребностей;
– самореализация обучающихся через участие во внеурочной деятельности.
Место курса в образовательном процессе
Программа курса учебного практикума «Трудные вопросы математики» направлена на расширение знаний обучающихся по
математике для классов с обязательным базовым уровнем обучения математике.
Тематическое планирование в программе курса учебного практикума
«Трудные вопросы математики» составлено так, что распределение содержательных разделов в нем синхронизировано с обязательной
программой базового уровня. Реализация содержания предлагается в формах, отличных от урочных. Следует отметить, что данный
курс в основной школе выстраивается не только на расширении математического содержания базового уровня, но и на повышении
уровня сложности задач, предлагаемых для решения.
Рабочая программа курса учебного практикума «Трудные вопросы математики» предназначена для реализации в 7–8 классах
и направлена на достижение обучающимися планируемых результатов. Последовательность изучения тем курса совпадает по времени с
изучением курса математики (алгебры
и геометрии)
основной
школы
базового
уровня,
все темы по возможности
синхронизированы с базовым курсом математики по классам. Темы по алгебре и геометрии чередуются, что позволяет максимально
приблизить их по времени изучения к освоению базового курса.
При реализации Программы первая задача учителя состоит в том, чтобы создать необходимые условия для приобретения и
развития умений, связанных с проведением исследований на математическом содержании. Для решения этой задачи в Программе
обозначено место и сформулированы темы для проведения исследовательских работ.
Вторая задача учителя по реализации Программы связана с возможностью создать условия для обработки и представления
информации научного содержания (в том числе с использованием цифровых инструментов) при организации индивидуальной
и групповой проектной деятельности. Для успешной реализации сценариев проектов рекомендуется использовать персональные
компьютеры с установленными офисными программами и доступом к сети Интернет (как минимум один компьютер для каждой
группы).
Формы
деятельности
обучающихся
предусматривают
активность и самостоятельность, сочетают индивидуальную и
групповую работу, отличаются от урочных более широким использованием исследовательской и проектной деятельности, решением
нестандартных задач и др. Структурирование тематического планирования в Программе соответствует порядку изучения разделов и
тем алгебры и геометрии в основной школе.
Реализация Программы предполагает сочетание различных форм групповой работы (дискуссия; математическое соревнование;
практикум; выбор темы проекта, планирование работ, распределение ролей, взаимооценка при выполнении групповых проектов и

исследований) и индивидуальной работы (выполнение индивидуального исследования, в том числе с использованием цифровых
инструментов; проведение устного обоснования при решении нестандартных задач, задач повышенного уровня сложности; построение
математических моделей, их исследование; интерпретация полученных результатов при решении задач с межпредметным и практическим
содержанием; поиск, интерпретация, преобразование и применение математической информации; самостоятельное открытие нового
математического факта). Использование таких форм работы помогает развивать у обучающихся, с одной стороны, навыки восприятия
новой информации при различных формах ее подачи, а с другой стороны – активность, самостоятельность и способность к
творчеству. Освоение Программы должно дополнять и развивать знания и умения обучающихся в области математики,
ориентировать их на обучение в средней школе в классах, предусматривающих освоение математики на углубленном уровне, в
частности технологического профиля, а также способствовать социальному формированию личности обучающихся.
Программа курса рассчитана на 68 часа в течение двух лет обучения в 7–8 классах (34 часа в каждом классе)
Целесообразным является чередование тем занятий с алгебраическим и геометрическим содержанием.
В зависимости от конкретных условий реализации Программы и количества обучающихся допускается формирование
групп из обучающихся разных классов в пределах одной параллели. Программа может реализовываться образовательной организацией
самостоятельно либо на основе взаимодействия с другими организациями, осуществляющими образовательную деятельность.
По усмотрению учителя некоторые занятия могут быть исключены или заменены.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

7 КЛАСС
Элементы истории. Общие понятия геометрии. Основные фигуры
История возникновения и развития геометрии. Понятия: аксиома, теорема, свойство, признак, доказательство, определение.
Инструменты для измерений и построений. Взаимное расположение точек на прямой. Измерение длины отрезка, расстояние между
точками. Взаимное расположение прямых. Ломаная. Виды ломаных. Длина ломаной. Многоугольники. Периметр многоугольника.
Понятие о выпуклых и невыпуклых многоугольниках.
Числа и вычисления. Делимость
Признаки делимости: формулировка и доказательство. Решение задач повышенной сложности на делимость. Решение сюжетных
задач арифметическим методом.
Исследовательская работа: делимость и ее свойства.
Алгебраические выражения
Степени, многочлены, преобразование многочленов, действия с многочленами. Многочлен стандартного вида. Степень многочлена.
Корни многочлена. Нахождение корней многочлена. Доказательство тождеств. Разные подходы к доказательству тождеств.
Исследовательская работа: как найти корень многочлена?
Треугольники. Признаки равенства треугольников
Треугольники. Равные треугольники в геометрических конфигурациях. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства
прямоугольных треугольников. Перпендикуляр и наклонная.
Уравнения и системы уравнений
Линейные уравнения и их системы. Определение числа корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений, содержащих
знак модуля. Решение линейных уравнений с параметрами. Решение систем линейных уравнений разными методами.
Исследовательская работа: линейные уравнения, содержащие знак модуля. Построения с помощью циркуля и линейки
Обоснования простейших построений, этапы задачи на построения, решение задач на построение циркулем и линейкой.
Осевая симметрия
Фигуры с осевой симметрией. Примеры симметрии в окружающем мире.
Проект: симметрия в окружающем мире.
Многоугольники и геометрические неравенства
Сумма внутренних углов многоугольника и внешних углов выпуклого многоугольника. Соотношения между сторонами и углами
треугольника. Неравенство треугольника. Неравенство о длине ломаной. Неравенство между перпендикуляром и наклонной. Расстояние
от точки до прямой.
Исследовательская работа: геометрические неравенства.
Функции
Поиск области определения и множества значений функции. Использование различных способов задания функции. Использование

свойств функций для анализа графиков реальных зависимостей (нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки
возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее значения функции). Графики, кусочно-заданные функции.
Исследовательская работа: сравнение свойств функции и их графиков в зависимости от параметров.
Геометрические места точек
Взаимное расположение окружности и прямой. Примеры геометрических мест точек на плоскости. Метод геометрических мест
точек при решении геометрических задач.

8 КЛАСС
Числа и вычисления
Квадратный корень. Выполнение операций с иррациональными числами.
Алгебраические выражения
Дробно-рациональные выражения. Степени. Выполнение тождественных преобразований рациональных выражений.
Центральная симметрия
Формулировка
определения
и доказательство
свойств
центрально-симметричных фигур.
Деление отрезка на равные части с помощью циркуля и линейки. Исследовательская работа: свойства центрально-симметричных
фигур. Проект: центральная симметрия в окружающем мире.
Четырёхугольники
Параллелограмм, его признаки и свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства. Трапеция. Равнобедренная
трапеция, её свойства и признаки. Средняя линия треугольника и средняя линия трапеции. Свойства и признаки специальных видов
четырёхугольников.
Исследовательская работа: знакомые и незнакомые четырёхугольники.
Уравнения и неравенства
Определение равносильных уравнений. Применение свойств уравнений с одной переменной. Определение количества
действительных корней квадратного уравнения. Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к
квадратным уравнениям, использование метода замены переменной. Решение текстовых задач алгебраическим способом: переход от
словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решение составленного уравнения;
интерпретация результата. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений, в которых одно из уравнений не является линейным. Графическая интерпретация решения уравнения с
двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными. Решение нелинейных неравенств и их систем. Решение неравенств,
содержащих знак модуля.
Изображение решения неравенства с одной переменной и системы неравенств на координатной прямой, запись решения с помощью
символов. Неравенство с двумя переменными. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.
Исследовательская работа: равносильность и следствие.
Исследовательская
работа:
графическая
интерпретация
уравнений с двумя переменными.
Исследовательская
работа:
графический
метод
решения
систем неравенств с двумя переменными.

Преобразование подобия
Преобразование подобия и подобные фигуры. Соотношения в подобных фигурах.
Исследовательская работа: что такое фрактал?
Доказательства неравенств
Оценка значения выражения с использованием неравенств. Применение свойств неравенств в ходе решения задач.
Определение равносильных неравенств. Доказательство неравенств.
Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной.
Исследовательская работа: линейное неравенство с одной переменной с параметром.
Прямоугольные треугольники
Теорема Пифагора и её применение при решении практических задач. Доказательство соотношений между пропорциональными
отрезками в прямоугольном треугольнике (высота, проведённая из вершины прямого угла; метрические соотношения). Применение
соотношений при решении геометрических задач. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника (синус,
косинус, тангенс, котангенс).
Значения тригонометрических
функций
для углов
30°, 45°, 60°. Решение
задач
с
использованием
тригонометрических функций.
Практикум: решение практико-ориентированных задач.
Математическое соревнование: решение задач разными методами.
Функции
Поиск области определения и множества значений функции. График функции k/x. Функция вида (ax + b)/(cx + d).
Числа и вычисления: делимость
Формулировка определения делимости нацело, чисел, сравнимых по данному модулю. Выполнение деления с
остатком. Доказательство и применение свойств сравнений по модулю. Нахождение остатков суммы и произведения по данному
модулю.
Исследовательская работа: делимость.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА учебного практикума «ТРУДНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ»
Реализация программы курса учебного практикума «Трудные вопросы математики» направлена на обеспечение достижения
обучающимися личностных, метапредметных и предметных образовательных результатов.
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ в части:
– патриотического воспитания: проявление интереса к прошлому и настоящему российской математики; ценностное
отношение к достижениям российских математиков и российской математической школы, к использованию этих достижений в других
науках и прикладных сферах;
– гражданского и духовно-нравственного воспитания: готовность к выполнению обязанностей гражданина и реализации
его прав; представление о математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(например, выборы, опросы), готовность к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений
науки; осознание важности морально-этических принципов в деятельности ученого;
– трудового воспитания: установка на активное участие в решении практических задач математической направленности;
осознание важности математического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитие
необходимых умений; осознанный выбор и построение индивидуальной траектории образования и жизненных планов с учетом личных
интересов и общественных потребностей;
– эстетического воспитания: способность к эмоциональному и эстетическому восприятию математических объектов,
задач, решений, рассуждений; умение видеть математические закономерности в искусстве;
– ценности научного познания: ориентация в деятельности на современную систему научных представлений об
основных закономерностях развития человека, природы и общества; понимание математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов ее развития и значимости для развития цивилизации; овладение языком математики и математической культурой как
средством познания мира; овладение навыками исследовательской деятельности;
– физического
воспитания,
формирования
культуры
здоровья и эмоционального благополучия: готовность
применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный
режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность), сформированность навыка рефлексии, признание своего права на ошибку
и такого же права другого человека;
– экологического воспитания: ориентация на применение математических знаний для решения задач в области сохранности
окружающей среды; планирование поступков и оценка их возможных последствий для окружающей среды; осознание
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
– адаптации к изменяющимся условиям социальной и природной среды: готовность к действиям в условиях
неопределенности, повышению уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других
людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других; необходимость формировать

новые знания, формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты
собственных знаний и компетентностей, планировать свое развитие; способность осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать
риски и последствия, формировать опыт;
– воспитания информационной культуры: проявление интереса к использованию цифровых технологий для
оптимизации процессов поиска,
анализа,
обработки,
создания,
передачи
математической
информации и визуализаций математических обобщений и
результатов анализа; готовность к использованию цифровых инструментов для выполнения учебной деятельности при изучении
математики; способность применять цифровые инструменты в условиях реализации мер по предупреждению возможных негативных
последствий активного и систематического применения цифровых технологий в учебных целях.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
– выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между понятиями,
формулировать определения понятий, устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения,
критерии проводимого анализа;
– воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;
– выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
– делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по
аналогии;
– разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного), проводить самостоятельно доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, применять метод математической индукции,
обосновывать собственные рассуждения;
– выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
– использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы, фиксирующие противоречие,
проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
– проводить по самостоятельно составленному плану эксперимент, исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
– самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведенного наблюдения, исследования, эксперимента,

оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
– прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
– выявлять недостаточность
и избыточность
информации,
данных, необходимых для решения задачи;
– выбирать,
анализировать,
систематизировать
и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
– выбирать
форму
представления
информации
и иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной
графикой и их комбинациями;
– оценивать надежность
информации
по критериям,
предложенным или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
– воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою
точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
– в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи,
нацеленные на поиск решения,сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
– представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления
с учетом задач презентации и особенностей аудитории;
– понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных математических задач,
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
– участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество результата и качество своего вклада в общий результат по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
– выявлять проблемы для решения в жизненных и учебных ситуациях, ориентироваться в различных подходах принятия решений
(индивидуальное, групповое);
– самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения с учетом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учетом новой информации.
Самоконтроль:
– владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи, самомотивации и

рефлексии;
– предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых
обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
– оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения цели, находить ошибку, давать оценку приобретенному опыту.
Эмоциональный интеллект:
– выражать эмоции при изучении математических объектов и фактов, давать эмоциональную оценку решения задачи.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения программы учебного курса к концу обучения в 7 классе:
Использовать понятия множества натуральных чисел, множества целых чисел, множества рациональных чисел при решении задач,
проведении рассуждений и доказательств.
Понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа.
Выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с рациональными числами, использовать свойства
чисел и правила действий, приемы рациональных вычислений.
Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
Находить значения числовых выражений, содержащих рациональные числа и степени с натуральным показателем, применять
разнообразные способы и приемы вычисления, составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и
задач из других учебных предметов.
Округлять числа с заданной точностью, а также по смыслу практической ситуации, выполнять прикидку и оценку результата
вычислений, оценку значений числовых выражений, в том числе при решении практических задач.
Решать текстовые задачи арифметическим способом, использовать таблицы, схемы, чертежи, другие средства представления данных
при решении задач.
Доказывать и применять при решении задач признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11, признаки делимости суммы и
произведения целых чисел.
Применять признаки делимости на 7 и 13. Раскладывать на множители натуральные числа.
Свободно оперировать понятиями: четное число, нечетное число, взаимно простые числа.
Находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел и использовать их при решении задач, применять
алгоритм Евклида.
Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю.
Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять ее в процессе освоения учебного материала.
Использовать понятие тождества, выполнять тождественные преобразования выражений, доказывать тождества.
Выполнять действия (сложение, вычитание, умножение) с одночленами и с многочленами, применять формулы сокращенного
умножения (квадрат и куб суммы, квадрат и куб разности, разность квадратов, сумма и разность кубов), в том числе для упрощения
вычислений.

Составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с
контекстом задачи полученный результат.
Строить графики линейных функций. Строить график функции y = |х|.
Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость, время, расстояние, цена, количество,
стоимость, производительность, время, объем работы.
Находить значение функции по значению ее аргумента.
Понимать графический способ представления и анализа информации, извлекать и интерпретировать информацию из графиков
реальных процессов и зависимостей.
Использовать свойства функций для анализа графиков реальных зависимостей (нули функции, промежутки знакопостоянства
функции, промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее значения функции).
Использовать графики для исследования процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни.
Делать прикидку и оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни, размеров природных объектов.
Владеть понятием «геометрическое место точек» (ГМТ). Определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как
ГМТ. Пользоваться понятием ГМТ при доказательстве геометрических утверждений и при решении задач.
Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса,
проведенного к точке касания. Доказывать равенство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки, и
применять это в решении геометрических задач.
Доказывать и применять простейшие геометрические неравенства, понимать их практический смысл.
Предметные результаты освоения программы учебного курса к концу обучения в 8 классе:
Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств.
Свободно оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить,
оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих
квадратные корни, используя свойства корней.
Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать
действительные числа точками на координатной прямой.
Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять
числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений.
Свободно оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и
произведения по данному модулю.
Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях.
Применять основное свойство рациональной дроби.
Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей.
Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной
практики.
Применять
понятие
степени
с целым
показателем,
выполнять преобразования выражений, содержащих
степени с целым показателем.
Находить допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни.
Выполнять
преобразования
иррациональных
выражений,
используя свойства корней.
Решать дробно-рациональные уравнения.
Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами.
Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений
(устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы
уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы,
давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств. Доказывать неравенства.
Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции
по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику.
Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику.
Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать их и уверенно применять при решении
геометрических задач.
Распознавать центрально-симметричные фигуры и использовать их свойства при решении задач.
Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников. Иметь
представление о преобразовании подобия и о подобных фигурах. Пользоваться признаками подобия треугольников при решении
геометрических задач. Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках. Доказывать и
применять теорему Фалеса. Применять подобие в практических задачах.
Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять
(различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
Применять метод площадей для решения задач. Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач.
Применять полученные умения в практических задачах.
Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить
соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
№
п/п

Наименование разделов и тем
курса внеурочной
деятельности

Количество часов

Программное содержание

Форма работы/характеристика
деятельности обучающихся

1

Элементы истории. Общие
понятия геометрии. Основные
фигуры.

4

История возникновения и развития геометрии.
Понятия: аксиома, теорема, свойство,
признак, доказательство, определение.
Инструменты для измерений и построений.
Взаимное расположение точек на прямой.
Измерение длины отрезка, расстояние
между точками. Взаимное расположение
прямых. Ломаная. Виды ломаных. Длина
ломаной.
Многоугольники. Периметр многоугольника.
Понятие о выпуклых и невыпуклых
многоугольниках

Семинар: из истории
возникновения и развития
геометрии.
Мини-исследование: что такое,
теорема, свойство, признак,
доказательство, определение.

2

Числа и вычисления.
Делимость.
Сюжетные задачи

4

Делимость и её свойства. Признаки
делимости на 4, 6, 8, 11. Признаки
делимости на 7, 13 (универсальный
способ).

Исследовательская работа:
делимость и ее свойства.

Решение задач повышенной сложности.
Решение задач на делимость.
Арифметический метод решения сюжетных

Дискуссия: соотнесение типа
задачи и модели. Сравнение
арифметического и
алгебраического метода решения
задач; достоинства и недостатки.
15

задач

3

Треугольники. Признаки
равенства треугольников

3

4

Алгебраические выражения

5

Треугольники. Равные треугольники в
геометрических конфигурациях. Признаки
Практикум по решению задач.
равенства треугольников. Признаки равенства
Исследование: равные
прямоугольных треугольников. Перпендикуляр
треугольники в геометрических
и наклонная
конфигурациях

Представление зависимости между величинами
в виде формулы.
Степени, многочлены, преобразование
многочленов, действия с многочленами.
Многочлен стандартного вида. Степень
многочлена. Корни многочлена. Нахождение
корней многочлена. Доказательство тождеств.
5

Треугольники, и
геометрические неравенства
3

Соотношения между сторонами и углами
треугольника. Неравенство треугольника.
Неравенство
о
длине
ломаной.
Неравенство между перпендикуляром и
наклонной.
Расстояние от точки до прямой

Практикум по решению
практикоориентированных задач
на нахождение неизвестных
величин с применением формул.
Исследовательская работа: как
найти корень многочлена?

Исследовательская работа (в
том числе с использованием
«математических пакетов»):
геометрические неравенства.
Практикум по решению практикоориентированных задач.
16

6

Уравнения и системы уравнений

3

Равносильность уравнений
Линейные уравнения и их системы.
Определение числа корней линейного
уравнения.
Решение линейных уравнений, содержащих
знак модуля. Решение линейных уравнений с
параметрами. Решение систем линейных
уравнений разными методами

Самостоятельное открытие:
линейные уравнения и неравенства
с параметрами и их системы.
Исследовательская работа (в том
числе с использованием
«математических пакетов»):
линейные уравнения, содержащие
знак модуля. Практикум по
решению задач: от простого к
сложному — решение систем
линейных уравнений разными
методами.

7

Осевая симметрия

2

Фигуры с осевой симметрией. Примеры
симметрии в окружающем мире

Исследовательская работа (в
том числе с использованием
«математических пакетов»).
Построение моделей (в том
числе с использованием
«математических пакетов»).

17

8

9

Многоугольники. Окружность

Функции

3

4

Сумма внутренних углов многоугольника и
сумма внешних углов выпуклого
многоугольника.

Практикум по решению
практикоориентированных задач.
Исследовательская работа:
взаимное расположение
окружности и прямой.

Касательная и секущая к окружности.
Окружность, вписанная в угол.
Поиск области определения и множества
значений функции. Использование
различных способов задания функции.
Использование
свойств функций для анализа графиков
реальных зависимостей (нули функции,
промежутки знакопостоянства функции,
промежутки возрастания и убывания
функции, наибольшее и наименьшее значения
функции). Графики, кусочно-заданные
функции

10

Геометрические места точек

3

Взаимное расположение окружности и

плоскости.

Практикум: практикоориентированные задачи на
взаимное расположение
окружности и прямой.

Метод геометрических мест точек при
решении геометрических задач

Практикум по решению задач на
ГМТ

прямой.
Примеры геометрических мест точек на

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
ПО ПРОГРАММЕ

Исследовательская работа (с
использованием
«математических пакетов»): в
том числе сравнение свойств
функции и их графиков в
зависимости от параметров

34

8 КЛАСС
№ п/п

Наименование разделов и тем программы

Всего

Количество часов
Контрольные Практические
работы
работы

Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
18

Числа и вычисления (квадратные корни,
иррациональные числа, степени)
2
Алгебраические выражения
3
Четырехугольники
4
Уравнения и неравенства
Центрально-симметричные фигуры.
5
Пропорциональные отрезки. Подобие.
Преобразование подобия. Площади.
6
Прямоугольные треугольники
7
Функции
8
Числа и вычисления: делимость
9
Вписанные и описанные четырёхугольники
10
Повторение, обобщение, систематизация
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
1

5

https://m.edsoo.ru/0RMAGNHCK

4
4
6

https://m.edsoo.ru/Q7A3CXOIL
https://m.edsoo.ru/GB7K3OKCG
https://m.edsoo.ru/Y683RP1V9

3

https://m.edsoo.ru/UDKT3SX0P

3
1
2
4
2
34

https://m.edsoo.ru/1C0H5LYTW
https://m.edsoo.ru/5DGS10O04
https://m.edsoo.ru/3OQTSJORU
https://m.edsoo.ru/B2NFZC7XH
https://m.edsoo.ru/SQCV6UFOT

19

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

8 класс
№ п/п

1
2
3

4

5

6
7
8

9
10

Тема урока

Квадратный корень
Выполнение операций с
иррациональными числами
Выполнение операций с
иррациональными числами
Точность приближения
иррационального числа при решении
задач. Округление иррациональных
чисел, прикидка результата
вычислений.
Точность приближения
иррационального числа при решении
задач. Округление иррациональных
чисел, прикидка результата
вычислений.
Дробно-рациональные выражения
Степени
Выполнение тождественных
преобразований рациональных
выражений
Выполнение тождественных
преобразований рациональных
выражений
Параллелограмм, его признаки и
свойства

Количество часов
Контрольные
Всего
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Электронные цифровые
образовательные ресурсы

1

https://m.edsoo.ru/3PYSJ3U86

1

https://m.edsoo.ru/TO1FCTPEP

1

https://m.edsoo.ru/PSDUTXXKO

1

https://m.edsoo.ru/U748OB1Y5

1

https://m.edsoo.ru/79TXEY8FV

1
1

https://m.edsoo.ru/J5VG5LR7S
https://m.edsoo.ru/01XPS5E2H

1

https://m.edsoo.ru/VAEN1S6V1

1

https://m.edsoo.ru/3JYROJYXS

1

https://m.edsoo.ru/6PF3GHKFE
20

11
12
13
14
15
16

17

18

19

20

Прямоугольник, ромб, квадрат, их
признаки и свойства
Трапеция. Равнобедренная трапеция, её
свойства и признаки
Трапеция. Равнобедренная трапеция, её
свойства и признаки
Квадратные уравнения. Определение
равносильных уравнений
Определение количества
действительных корней квадратного
уравнения
Применение свойств уравнений с
одной переменной.
Решение дробно-рациональных
уравнений, сводящихся к линейным
или к квадратным уравнениям,
использование метода замены
переменной
Решение текстовых задач
алгебраическим способом: переход от
словесной форму-лировки условия
задачи к алгебраической модели
путем составления уравнения;
решение составленного уравнения;
интерпретация результата.
Графическая интерпретация
уравнений с двумя переменными
Формулировка определения и доказательство свойств центральносимметрич-ных фигур. Средняя линия
треугольника. Средняя линия
трапеции.

1

https://m.edsoo.ru/ZWRT952Y4

1

https://m.edsoo.ru/630IJGP3Z

1

https://m.edsoo.ru/8VPTOXEBR

1

https://m.edsoo.ru/151VDLKUY

1

https://m.edsoo.ru/JT3RAMNER

1

https://m.edsoo.ru/SEJEHT01I

1

https://m.edsoo.ru/8LR8SF4V6

1

https://m.edsoo.ru/73DCZHCDB

1

https://m.edsoo.ru/JSXJD3SRP

1

https://m.edsoo.ru/2950Y2QME

21

21

22

23

24
25

26

27

28
29
30
31

Теорема Фалеса. Пропорциональные
отрезки. Введение понятия
преобразования подобия и подобных
фигур. Соотношения в подобных
фигурах.
Задачи на нахождение площади с
использованием разбиения на части и
достраивание. Метод площадей.
Теорема Пифагора и ее применение.
Доказательство соотношений между
пропорциональными отрезками в
прямо-угольном треугольнике.
Применение соотношений при
решении геометрических задач.
Тригонометрические функции в
прямоугольном треугольнике
Поиск области определения и
множества значений функции. График
функции k/x. Функция вида (ax +
b)/(cx + d)
Формулировка определения
делимости нацело, чисел, сравнимых
по данному модулю. Выполнение
деления с остатком. Доказательство и
применение свойств сравнений по
модулю.
Нахождение остатков суммы и
произведения по данному модулю
Вписанные и центральные углы
Углы между хордами и секущими
Вписанные и описанные
четырёхугольники

1

https://m.edsoo.ru/4SFFT1US4

1

https://m.edsoo.ru/MJMHAI34E

1

https://m.edsoo.ru/WIOBFQW90

1

https://m.edsoo.ru/PM9Q3ZUAL

1

https://m.edsoo.ru/0R3MUMSW1

1

https://m.edsoo.ru/S0BG3CP5E

1

https://m.edsoo.ru/O36XRGIQ5

1

https://m.edsoo.ru/0BCM3MZ4J

1
1

https://m.edsoo.ru/A2ALJCKN5
https://m.edsoo.ru/YMIS4PJ3A

1

https://m.edsoo.ru/XNOZ18EQC
22

Взаимное расположение двух
окружностей
Выполнение исследовательской
33
работы. Выполнение и защита проекта
Выполнение исследовательской
34
работы. Выполнение и защита проекта
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
32

1

https://m.edsoo.ru/JSL2OLYZ8

1

https://m.edsoo.ru/P5CIFH6V2

1

https://m.edsoo.ru/3RF22K1BA

34

0

0

23